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初中静态几许:平行线相干模型

发布日期:2022-09-07 06:30    点击次数:152

根抵模型1、拐角模型模型1:M字母模型

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条件:AB∥CD.

结论:∠E=∠B+∠D.

证明

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证法一:如图①,

过点E作EF∥AB,

∴∠B=∠BEF,

∵AB∥CD.

∴EF∥CD,

∴∠D=∠DEF.

∵∠BED=∠BEF+∠DEF,

∴∠BED=∠B+∠D.

留心:不要轻忽对EF∥CD的证明.

证法二:如图②,延长BE交CD于点G,

∵AB∥CD,

∴∠B=∠EGD,

∴∠BED=∠B+∠D.

模型2:铅笔头模型

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条件:如图①,AB∥CD.

结论:∠B+∠E+∠D=360°.

证明证法一:如图②,过点E作EF∥AB,∴∠B+∠BEF=180°.∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠D+∠FED=180°,∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°.证法二:如图③,延长AB和DE交于点G(或延长BE和CD),∴∠ABE+∠EBG=180°.∵AB//CD,∴∠G+∠D= 180°,由三角形的外角定理,得 ∠BED=∠G+∠EBG,∴∠ABE+ ∠BED+ ∠D=∠ABE+ ∠EBG+∠G+ ∠D=360°.

模型3

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条件:AB∥CD.

结论:∠B=∠D+∠E.

证明:∵AB∥CD,

∴∠B=∠BFD,∵∠BFD=∠D+∠E,∴∠B=∠D+∠E.

模型4

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条件:AB∥CD.结论:∠BEG+∠D+∠F=180°.证明:∵AB∥CD,∴∠BEG=∠DGF,∵∠DGF+∠D+∠F=180°,∴∠BEG+∠D+∠F=180°.模型5:脚字模型

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条件:AB∥CD.结论:∠B=∠D+∠E.证明:如图②.延长EB交CD于点F(或延长AB与DE相交),∵AB∥ CD,∴∠ABE=∠CFE,∵∠CFE=∠D+ ∠E,∴∠ABE=∠D+ ∠E.

典例1.1 如图,直线AB∥CD,∠C=44°,∠E为直角,则∠1等于几多度?

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阐发:由拐角模型可求得∠BAE,进而可得∠1的度数.

解答:由拐角模型知

∠E=∠C+∠BAE,

∴∠BAE=∠E-∠C=46°,

∴∠1=180°-∠BAE=134°.

小结:

1.平行线的性质、三角形内角和、三角形外角定理是经管角的成就的经常使用编制;2.常过拐点作平行线,布局同位角、内错角或许同旁内角;3.当截线只与平行线中的一条线段相交时,平日延长截线或许另外一条平行线段,使截线和两条平行线均相交.变式1.1 如图,AB∥CD,用含∠1,∠2,∠3的技俩默示∠4为(  ).

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A.∠1+∠2-∠3

B.∠1+∠3-∠2

C.180°+∠3-∠1-∠2

D.∠2+∠3-∠1-180°

2、平行线+角平分线模型(出现等腰三角形)

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条件:AB∥CD,CE平分∠ACD.

结论:AC=AE(△ACE为等腰三角形).

典例2.1 如图.在△ABC中OB和OC划分平分∠ABC和∠ACB,过O作DE//BC,划分交AB.AC于点D,E,若BD+CE=5,则线段DE的长为几多?

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【阐发】出现平行线和角平分线,由模型知△BOD和△COE为等膜三角形,可将线段转化.

【解答】∵OB 平分∠ABC.

∴∠DBO=∠OBC. 

∵DE//BC,

∴∠DOB= ∠OBC,

∴∠DBO= ∠DOB.

∴BD=DO,同理 CE=OE.

又∵BD+CE=5,

∴DO+OE=5,即DE=5.

【小结】知二求一:平行线、角平分线和等腰三角形肆意两个作为条件,另外一个作为结论,均创建.

典例2.2 如图,矩形纸片ABCD,个中AD=8,AB=6.沿对指线BD对折,点C落在点C'的职位地方上.BC'交AD于点G.

(1)求证AG=CG.(2)求AG长.

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【阐发】经由过程证明△BGA≅△DGC'可证AG=C'G;由模型知△BDG为等腰三有形,AG的长度难以间接求,可使用勾股定理列方程求解.

【解答】⑴在矩形 ABCD 中,AB=CD, 

∠A=∠C=90°,AD//BC, 

∴∠DBC= ∠GDB;

由折叠的对称性,

知∠DBC=∠GBD,DC'=DC, 

∴∠GBD= ∠GDB,BA=DC', 

∴GB=GD.

在 Rt△BGA 和Rt△DGC'中,

∴  ,

∴△BGA≅△DGC',

AG=C'G.

(2)设 AG=x,则BG=GD=AD-AG = 8-x,在 Rt△BGA中.

∴BG²=AG²+AB²,∴(8-x)²=x²+6²,

解得  所以AG=   .

【小结】1.证三角形全等是证明线段相称的经常使用编制;

2.折叠平行四边形常出现等腰三角形;

3.折叠类成就常痛处勾股定理列方程,求出线段的长.

变式2.1 如图,在平行四边形ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,及交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为几多 ?

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变式2.2 如图,把矩形ABCD沿着EF翻折,点B落在AD边的B'处,若AE=2,DE=6,EF=EB',则矩形ABCD的面积是几多?

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3、同旁内角双角平分线模型

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条件:AB∥CD,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,过点E作AB的垂线FG.

结论:①DE⊥DE,②EF=EG,③BD=BF+DG, ④梯形,⑤△BEF∼△BDE∼△EDG.

简证:(1)∵AB∥CD,∴∠ABD+ ∠BDC= 180°,

∵BE平分∠ABD,DE平分∠BDC, 

∴∠EBD=  ∠ABD,∠EDB=  ∠BDC,

 ∴∠EBD+ ∠EDB=  (∠ABD+∠BDC) ,

∴∠BED=90°;∴BE⊥DE.

(2)作EH⊥BD于点H,由角平分线的性质,得EF=EH=EG;

(3)易证△EBF≅△EBH,△EDH≅△EDG,∴BD=BH+DH=BF+DG;

(4)△EBF≅△EBH, △EDH≅△EDG,易患 梯形 ;

(5)△BEF,△BDE,△EDG中划分有两组角相称.

典例3.1 如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC的边长为AO=6,BO=8,E是OB的中点,将 △AOE沿AE折叠后失去△AFE,点F在矩形AOBC外部,延长AF交BC于点G.求点G的坐标.

【阐发】此题的关键在于求出BG的长,由模型知BG=FG,△AOE∼△EBG,可设未知数,在在Rt△ACG中用勾股定理列方程求解,也可以痛处类似三角对应边成比例求出BG.

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【解法】

编制一:跟尾EG.由折叠的对称性,知AF=AO=6,OE=EF,∠AFE=∠AOE=90°,∵E为OB中点,∴OE=BE=EF=  OB=4.在Rt△GEF和Rt△GEB中,  ,∴△GEF≅△GEB,∴BG=FG.设BG=FG=x,则AG=AF+FG=x+6,CG=BC-BG=6-x,在Rt△ACG中,AG²=AC²+CG²,∴(x+6)²=8²+(6-x)²,解得  ,即BG=  ,∴点G的坐标为(8,  ).

编制二:∵△GEF≅△GEB,∴∠GEB=∠GEF=  ∠BEF,∴∠GEB+∠AEO=  ∠BEF+ ∠OEF=90°,△AOE∼△EBG,∴  ,即  ,解得BG=  ,故点G的坐标为(8,  ).

变式3.1 如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,AO平分∠BAC,且AB=2,AC=6,求AO的长.

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